في هذا المقال، سنتناول موضوع حل نظام من معادلتين خطيتين، وهو أحد الموضوعات الأساسية في الرياضيات،يعكس هذا الموضوع أهمية القدرة على التعامل مع المتغيرات وإيجاد القيم الصحيحة لها،سنقوم بشرح كيفية حل المعادلات خطيًا وبيانيًا، مما يمنح القارئ فهمًا عميقًا لهذا النوع من المسائل،من خلال الأمثلة والتمثيلات البيانية، سيتضح كيف يمكن التعامل مع الأنظمة المعقدة باستخدام طرق بسيطة وفعالة،هذا المقال يوفر للقارئ الأدوات اللازمة لفهم هذا الموضوع بعمق.

يُعتبر حل نظام من معادلتين خطيتين باستخدام الرسم البياني طريقة مرئية لفهم تفاعل المعادلات،يمكننا أن نبدأ بمثال بسيط إذا كانت لدينا معادلة واحدة مثل س + 3 = 9، فإن المطلوب هو إيجاد قيمة (س) من خلال طريقة حسابية،وباستخدام العمليات الرياضية الأساسية، نقوم بعكس الإشارة للحصول على س = 9 – 3 وبالتالي س = 6،لكن الأمور تختلف قليلاً عندما نتعامل مع معادلتين، فهذا ما سنوضحه في هذا المقال.

حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيًا

كما ذكرنا، في حالة وجود أكثر من متغير، لن تتمكن من الحصول على حل واضح وسريع كما في الحالات البسيطة،فمثلاً إذا كانت لديك المعادلة س + ص = 20، فأنت بحاجة إلى معادلة إضافية لإيجاد قيم معينة، مثل س + ص = جـ،اللجوء إلى الجبر يوفر لنا مجموعة من الحلول الممكنة، والتي يمكن جمعها بطريقة تجعلنا نصل إلى المعادلة التي تعبر عن العلاقة بين المتغيرات.

5 س + 5 ص = و

عند النظر في هاتين المعادلتين، نرى أنه يجب علينا إيجاد قيم المتغيرين س وص في الوقت نفسه، وهذا يعني أننا سنعمل على نظام من المعادلات،هذا هو المفهوم الأساسي الذي نقدمه تحت عنوان "حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيًا".

النظام، هنا، يعني أن لدينا معادلتين نعمل على إيجاد الحلول المناسبة لهما (أي إيجاد قيمة "س" و "ص").

طريقة التمثيل البياني هي إحدى الطرق التي يمكننا استخدامها لحل هذا النوع من الأنظمة.

يمكنك أيضًا الاضطلاع على

طريقة بالمثال لحل نظام من معادلتين خطيتين بيانيًا

لنأخذ مثالًا توضيحيًا

أفترض أن لدينا النظام التالي

ص = م1 س + ب1

ص = م2 س + ب2

لحل هذا النظام، هناك ثلاث حلول ممكنة يمكن الوصول إليها

  • حل وحيد
  • عدد لا نهائي من الحلول
  • مستحيل الحل

في حالة وجود حل وحيد، سيتم تعيين قيم (س، ص) التي تمثل إحداثيات نقطة تقاطع على المحاور،

يمكنك أيضًا الاضطلاع على

أنواع الأنظمة

تتميز الأنظمة التي تناولناها سابقًا بمسميات تعتمد على نوع الحلول الموجودة، وهذه الأنظمة هي كما يلي

  • نظام متسق وهذا يعني أنه يوجد حل أو ربما عدد لا نهائي من الحلول المتاحة.
  • نظام غير متسق يمثل هذا النظام حالات تفتقر إلى أي حلول.

بهذا، فإن كلمة "متسق" تشير إلى تواجد الحلول من عدمه،لذلك، الأنظمة المتسقة يمكن تصنيفها إلى الأنواع التالية

  • مستقل نظام متسق يحتوي على حل وحيد، ويشار إليه باسم (نظام متسق ومستقل).
  • غير مستقل نظام متسق يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول، ويطلق عليه (نظام متسق وغير مستقل).

وأيضاً يمكن تصنيف الأنظمة حسب التمثيلات البيانية على النحو التالي

  • إذا تقاطع الخطان في نقطة واحدة، فالنظام هنا يكون (متسق مستقل).
  • إذا تداخل الخطان معاً في نفس المسار، فسيسفر عن عدد لا نهائي من الحلول، مما يعني أن النظام (متسق غير مستقل).
  • إذا كانت الخطوط متوازية (ولم تتقاطع)، فإن النظام هنا يكون (غير متسق) مما يعني عدم وجود أي حل.

يمكن أيضاً معرفة نوع النظام دون الرسم البياني من خلال مقارنة الميل كما يلي

  • إذا كان ميل المستقيم الأول لا يساوي ميل المستقيم الثاني، فإن النظام هنا (متسق مستقل).
  • إذا تساوى الميلان (م1 = م2) والجزء المقطوع للمستقيمين (ب1 = ب2)، فإن النظام هنا (متسق وغير مستقل).
  • إذا تساوى الميلان (م1 = م2) ولكن الجزء المقطوع (ب1 ≠ ب2)، فإن المستقيمان يظلان متوازيين، مما يعني أن النظام هو (غير متسق).

يمكنك أيضًا الاضطلاع على

مثال محلول على النظام

لتطبيق المعلومات المذكورة، دعونا نحل المثال التالي

السؤال التالي يتضمن

المعادلة الأولى

ص = -2س + 3

ص = س 5

طريقة الحل

في البداية، نقوم برسم المستقيمين على البياني ونقوم بملاحظة تفاعلهما،نجد أن المستقيمين يتقاطعان في نقطة واحدة، وبالتالي نستنتج أن هذا النظام (متسق ومستقل) مما يشير إلى وجود حل وحيد.

أما في المعادلة الثانية

ص = -2س ه

ص = -2س + 3

يمكنك أيضًا الاضطلاع على

طريقة الحل

لإيجاد الحل، نقوم بتحديد المستقيمين في الرسم البياني وملاحظة سلوك تلاقيةما،هنا نجد أن المستقيمين متوازيان، مما يعني عدم وجود أي نقاط التقاء وبالتالي فإن الحل هنا يكون مستحيلاً، وبذلك يتضح أن النظام (غير متسق).

بهذه الطريقة، قمنا بتحديد الحلول الممكنة لكل نظام من الأنظمة المعطاة،من خلال تقديم هذا الشرح المبسط والمفصل، نهدف إلى توفير فهم أوضح لكيفية حل نظام من معادلتين خطيتين باستخدام طرق حسابية ورسم بياني، ونشجع الطلاب على ممارسة المزيد من التدريبات لتحسين مهاراتهم الرياضية،نأمل أن يكون المقال قد زودكم بمعلومات مفيدة وقيّمة.